Un homme sage a dit un jour, « ne me dites jamais les chances », mais si vous calculez les chances de naviguer avec succès dans un champ d’astéroïdes (3 720: 1), en criant « Shazam » et en le faisant fonctionner deux fois de suite (9 millions: 1 ), ou gagner à la loterie d’État (42 millions : 1 en Californie), les probabilités influencent les résultats dans notre vie quotidienne pour les événements, petits ou grands. Mais pour le rôle répandu qu’ils jouent dans nos vies, votre personne moyenne est généralement assez d’accord pour les calculer avec précision. Comme on le voit dans l’extrait ci-dessous du dernier titre de James C. Zimring, Vérités partielles : comment les fractions déforment notre penséenos attentes concernant la probabilité qu’un événement se produise peuvent changer, selon la façon dont la question est posée et la fraction sur laquelle on se concentre.
Presse universitaire de Columbia
Extrait de Vérités partielles : comment les fractions déforment notre pensée par James C. Zimring, publié par Columbia Business School Publishing. Copyright (c) 2022 James C. Zimring. Utilisé en accord avec l’éditeur. Tous les droits sont réservés.
Confondre le probable avec l’apparemment impossible : mal évaluer le numérateur
Plus un événement semble improbable, plus il attire notre attention lorsqu’il se produit et plus nous nous sentons obligés d’expliquer pourquoi il s’est produit. Cela relève du bon sens. Si le monde ne se comporte pas selon les règles que nous comprenons, peut-être que nous comprenons mal les règles. Notre attention doit être attirée sur les événements improbables, car de nouvelles connaissances proviennent de nos tentatives pour comprendre les contradictions.
Parfois, ce qui semble impossible est en réalité hautement probable. Un exemple célèbre de cela se trouve avec le jeu de la loterie (c’est-à-dire le sophisme de la loterie). Il est bien entendu qu’il est incroyablement peu probable qu’une personne en particulier gagne à la loterie. Par exemple, la chance qu’un ticket gagne à la loterie Powerball (la loterie particulière analysée dans ce chapitre) est de 1/292 000 000. Cela explique pourquoi tant d’attention est accordée aux gagnants. Où ont-ils acheté leur billet ? Ont-ils vu une diseuse de bonne aventure avant d’acheter leur billet, ou ont-ils l’habitude de montrer des capacités psychiques ? Ont-ils des rituels spéciaux qu’ils effectuent avant d’acheter un billet ? C’est une tendance naturelle d’essayer d’expliquer comment un événement aussi improbable a pu se produire. Si nous pouvons identifier une raison, alors peut-être que la comprendre nous aidera également à gagner à la loterie.
Le sophisme de la loterie ne se limite pas aux bonnes choses qui se produisent. Des explications sont également recherchées pour expliquer les mauvaises choses. Certaines personnes sont frappées par la foudre plus d’une fois, ce qui semble tout simplement trop improbable pour être considéré comme un hasard. Il doit y avoir une explication. Inévitablement, on suppose que la personne peut avoir un trait mutant étrange qui la fait attirer l’électricité, ou qu’elle porte certains métaux sur elle ou qu’elle a des prothèses en titane dans son corps. Peut-être ont-ils été maudits par une force mystique ou Dieu les a abandonnés.
Le sophisme de la loterie peut être compris comme une forme de confondre une probabilité avec une autre, ou pour continuer avec notre thème de la partie 1, de confondre une fraction avec une autre. On peut exprimer les chances de gagner à la loterie sous forme de fraction (1/292 000 000), dans laquelle le numérateur est la combinaison de nombres unique qui gagne et le dénominateur est toutes les combinaisons de nombres possibles. L’erreur survient parce que nous avons tendance à ne remarquer qu’une seule personne avec un seul billet qui a gagné à la loterie. Ce n’est pas la seule personne à jouer à la loterie, cependant, et ce n’est pas le seul ticket. Combien de billets sont achetés pour un dessin donné ? Le nombre exact change, car plus de billets sont vendus lorsque le jackpot est plus élevé ; cependant, un dessin typique comprend environ 300 millions de billets vendus. Bien sûr, certains des billets vendus doivent être des doublons, étant donné que seulement 292 millions de combinaisons sont possibles. De plus, si toutes les combinaisons possibles étaient achetées, quelqu’un gagnerait chaque dessin. En réalité, environ 50 % des dessins ont un gagnant ; ainsi, nous pouvons en déduire qu’en moyenne, 146 millions de combinaisons de numéros différentes sont achetées.
Bien sûr, l’actualité ne nous donne pas la liste de toutes les personnes qui n’ont pas gagné. Pouvez-vous imaginer le même titre chaque semaine, « 299 999 999 personnes n’ont pas réussi à gagner à la loterie, encore une fois! » (noms répertoriés en ligne sur www.thisweekslosers.com). Non, les nouvelles nous disent seulement qu’il y avait un gagnant, et parfois qui était le gagnant. Quand nous nous demandons : « Quelles sont les chances que cette personne gagne ? nous posons la mauvaise question et nous nous référons à la mauvaise fraction. Les chances que cette personne en particulier gagne sont de 1/292 000 000. Par le seul hasard, cette personne devrait gagner à la loterie une fois tous les 2 807 692 ans où elle joue régulièrement (en supposant deux tirages par semaine). Ce que nous devrions demander, c’est « Quelles sont les chances qu’une personne gagne ? »
En probabilité, les chances qu’une chose ou une autre se produise sont la somme des probabilités individuelles. Donc, en supposant qu’il n’y a pas de billets en double, si une seule personne jouait à la loterie, les chances d’avoir un gagnant sont de 1/292 000 000. Si deux personnes jouent, les chances d’avoir un gagnant sont de 2/292 000 000. Si 1 000 personnes jouent, alors les chances sont de 1 000/292 000 000. Une fois que nous considérons que 146 millions de combinaisons de nombres différentes sont achetées, le sommet de la fraction (numérateur) devient incroyablement grand et les chances que quelqu’un gagne sont assez élevées. Lorsque nous nous émerveillons du fait que quelqu’un a gagné à la loterie, nous confondons la fraction réelle (146 000 000/292 000 000) avec la fraction (1/292 000 000) – c’est-à-dire que nous jugeons mal le numérateur. Ce qui semble être un événement incroyablement improbable est en fait assez probable. La tendance humaine à commettre cette erreur est liée à l’heuristique de la disponibilité, telle que décrite au chapitre 2. Seul le gagnant est « disponible » pour nos esprits, et non toutes les nombreuses personnes qui n’ont pas gagné.
De même, la probabilité d’être frappé deux fois par la foudre au cours de sa vie est de une sur neuf millions. Parce que 7,9 milliards de personnes vivent sur Terre, il est probable que 833 personnes seront frappées par la foudre deux fois dans leur vie (au moins). Comme dans l’exemple de la loterie, notre attention est attirée uniquement sur ceux qui sont frappés par la foudre. Nous ne tenons pas compte du nombre de personnes qui ne sont jamais frappées. Tout comme il est peu probable qu’une personne en particulier gagne à la loterie Powerball, il est très peu probable que personne ne gagne à la loterie après quelques tirages, compte tenu du nombre de personnes qui jouent. De même, il est très peu probable qu’une même personne soit frappée deux fois par la foudre, mais il est encore plus improbable que personne ne le soit, étant donné le nombre de personnes dans le monde.
Ainsi, lorsque nous réfléchissons à des choses aussi incroyables que quelqu’un qui gagne à la loterie ou qui est frappé deux fois par la foudre, nous essayons en fait d’expliquer pourquoi une chose hautement probable s’est produite, ce qui ne nécessite aucune explication. Les règles du monde fonctionnent exactement comme nous les comprenons, mais nous confondons le très probable avec le pratiquement impossible.
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