Deux anciens camarades de lycée, Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson, ont récemment publié dix nouvelles preuves trigonométriques du théorème de Pythagore, défiant une croyance de 2 000 ans selon laquelle de telles démonstrations étaient impossibles. Leurs travaux, révélés dans l’American Mathematical Monthly, montrent que même des lycéens peuvent contribuer significativement aux mathématiques. Leur succès pourrait inspirer d’autres étudiants à persévérer face aux obstacles, prouvant que la créativité et la rigueur scientifique peuvent mener à des découvertes remarquables.
Il y a deux ans, deux étudiantes de lycée ont réalisé une prouesse mathématique en découvrant une preuve trigonométrique du théorème de Pythagore. Aujourd’hui, elles en présentent dix autres.
Traditionnellement, depuis plus de 2 000 ans, de telles démonstrations étaient considérées comme insurmontables. Cependant, Ne’Kiya Jackson et Calcea Johnson ont partagé leurs nouvelles preuves le 28 octobre dans American Mathematical Monthly.
Le mathématicien Álvaro Lozano-Robledo, de l’Université du Connecticut à Storrs, souligne : « Beaucoup pensent qu’il faut des années d’expérience académique pour contribuer de manière significative aux mathématiques, mais Jackson et Johnson prouvent qu’un lycéen peut également se faire remarquer ».
Actuellement, Jackson poursuit des études en pharmacie à l’Université Xavier de Louisiane à la Nouvelle-Orléans, tandis que Johnson se spécialise en ingénierie environnementale à l’Université d’État de Louisiane à Baton Rouge.
Les preuves mathématiques sont des ensembles d’énoncés permettant d’établir la véracité ou la fausse assertion d’une proposition. Le théorème de Pythagore, formulé comme a2 + b2 = c2, établit la relation entre la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle et celles de ses autres côtés. Ce théorème a été prouvé maintes fois dans des contextes algébriques et géométriques.
Cependant, en 1927, le mathématicien Elisha Loomis soutenait que la preuve du théorème par des méthodes trigonométriques était impossible. Il affirmait que, étant donné que ce théorème est fondamental pour la trigonométrie, toute preuve ne pourrait qu’aboutir à une logique circulaire.
Jackson et Johnson ont élaboré leur première preuve trigonométrique en 2022, alors qu’elles étaient en terminale à l’Académie Sainte-Marie de la Nouvelle-Orléans. À ce moment-là, seules deux autres preuves trigonométriques de ce théorème avaient été proposées par les mathématiciens Jason Zimba et Nuno Luzia, respectivement en 2009 et 2015. Selon Jackson, leur travail initial a « été le déclencheur d’un processus créatif », leur permettant de développer d’autres preuves.
Après avoir présenté leur travail lors d’une réunion de l’American Mathematical Society en mars 2023, elles ont entrepris de publier leurs résultats dans une revue scientifique. « Ce fut la tâche la plus difficile », notent-elles dans leur article. En plus de l’écriture, elles ont dû acquérir de nouvelles compétences tout en commençant leurs études universitaires. « Apprendre à utiliser LaTeX pour la rédaction n’est pas simple quand on est aussi occupé à rédiger des essais et à analyser des données », confient-elles.
Malgré ces défis, leur motivation est restée intacte. Elles affirment que les termes trigonométriques peuvent être interprétés de plusieurs manières, rendant la preuve du théorème de Pythagore plus complexe. En choisissant de se concentrer sur une seule définition, elles ont réussi à formuler quatre preuves pour des triangles rectangles de côtés différents et une pour ceux ayant des côtés égaux.
Une des preuves a particulièrement attiré l’attention de Lozano-Robledo. Dans cette démonstration, les étudiantes composent un grand triangle en utilisant une série infinie de petits triangles, appliquant le calcul pour déterminer les longueurs des côtés du grand triangle. « Elles ont laissé cinq autres preuves pour le lecteur curieux », ajoutent-elles. L’article inclut également un lemme qui « offre une direction claire vers des preuves supplémentaires », explique Johnson.
Désormais que leurs preuves sont publiées, « d’autres pourraient s’en inspirer pour généraliser ou développer de nouvelles idées », indique Lozano-Robledo. « Cela ouvre la porte à de nombreuses discussions mathématiques. »
Jackson espère que la diffusion de cet article encouragera d’autres étudiants à « reconnaître que les défis font partie du parcours. Ne baissez pas les bras, et vous pourriez réaliser bien plus que vous ne l’auriez imaginé. »